📊 Распределения вероятностей для непрерывных случайных величин: равномерное и экспоненциальное 📊

📊 Распределения вероятностей для непрерывных случайных величин: равномерное и экспоненциальное 📊 Методы исследования Теория вероятностей. Примеры решения задач

Привет, дорогие слушатели! Сегодня мы поговорим о двух важных типах распределений вероятностей для непрерывных случайных величин: равномерном и экспоненциальном. Эти распределения часто встречаются в различных областях науки и практики, таких как теория надежности, теория очередей, статистика, физика и другие. Мы рассмотрим их основные свойства, характеристики, примеры и приложения. 😊

Видео:Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Нормальное Распределение за 6 Минут

🔹 Что такое непрерывная случайная величина? 🔹

Начнем с определения того, что такое непрерывная случайная величина. Это такая случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого интервала или множества интервалов на числовой прямой. Например, время жизни лампочки, длина стержня, скорость автомобиля, температура воздуха и т.д. 😎

Для непрерывной случайной величины X X не существует функции вероятности, то есть нельзя сказать, какова вероятность того, что X X равна какому-то конкретному числу. Ведь вероятность того, что X X попадет в любую точку на числовой прямой, равна нулю. Вместо этого, для непрерывной случайной величины X X определяют функцию распределения F ( x) F(x) и плотность распределения f ( x) f(x) . 😯

Функция распределения F ( x) F(x) показывает, какова вероятность того, что X X не превысит заданного значения x x , то есть F ( x) = P ( X ≤ x) F(x)=P(Xleqslant x) . Функция распределения F ( x) F(x) имеет следующие свойства:

  • Она неубывающая, то есть если x 1 < x 2 x_1<x_2 ,="" то="" f="" (="" x="" 1)="" ≤="" 2)="" f(x_1)leqslant="" f(x_2)="" ;
  • Она ограниченная, то есть 0 ≤ F ( x) ≤ 1 0leqslant F(x)leqslant 1 для любого x x ;
  • Она непрерывная, то есть не имеет скачков;
  • Она стремится к нулю при x → − ∞ xto -infty и к единице при x → + ∞ xto +infty .

Плотность распределения f ( x) f(x) определяется как производная функции распределения F ( x) F(x) по x x , то есть f ( x) = F ′ ( x) f(x)=F’(x) . Плотность распределения f ( x) f(x) имеет следующие свойства:

  • Она неотрицательная, то есть f ( x) ≥ 0 f(x)geqslant 0 для любого x x ;
  • Она нормированная, то есть её интеграл по всей числовой прямой равен единице, то есть ∫ − ∞ + ∞ f ( x) d x = 1 int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1 ;
  • Она характеризует плотность вероятности в окрестности точки x x , то есть вероятность того, что X X попадет в некоторый малый интервал ( x , x + Δ x) (x,x+Delta x) , приблизительно равна f ( x) Δ x f(x)Delta x .

Зная плотность распределения f ( x) f(x) , можно найти функцию распределения F ( x) F(x) , интегрируя плотность от минус бесконечности до x x , то есть F ( x) = ∫ − ∞ x f ( t) d t F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt . Обратно, зная функцию распределения F ( x) F(x) , можно найти плотность распределения f ( x) f(x) , дифференцируя функцию распределения по x x , то есть f ( x) = F ′ ( x) f(x)=F’(x) . 😁

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределения

🔹 Что такое равномерное распределение? 🔹

Равномерное распределение — это такое распределение вероятностей для непрерывной случайной величины X X , при котором X X может принимать любые значения из некоторого интервала [ a , b] [a,b] с одинаковой вероятностью. То есть, вероятность того, что X X попадет в любой подынтервал [ a , b] [a,b] , пропорциональна длине этого подынтервала. 😮

Например, если X X — это длина стороны квадрата, то X X может быть любым числом от 0 0 до 10 10 сантиметров с одинаковой вероятностью. Если X X — это температура воды в бассейне, то X X может быть любым числом от 20 20 до 30 30 градусов Цельсия с одинаковой вероятностью. Если X X — это время прибытия автобуса на остановку, то X X может быть любым числом от 9:00 9:00 до 9:15 9:15 с одинаковой вероятностью. 😊

Равномерное распределение обозначается как U ( a , b) U(a,b) , где a a и b b — это границы интервала, на котором определена случайная величина X X . Плотность распределения равномерного распределения имеет вид:

Функция распределения равномерного распределения имеет вид:

F(x)={0,если xb.F(x)=begin{cases}
0, & text{если } x
b.
end{cases}
F(x)=⎩⎨⎧​0,b−ax−a​,1,​если x
b.​

Графики плотности и функции распределения равномерного распределения U ( 0 , 1) U(0,1) выглядят так:

🌟 Видео

Экспоненциальное (показательное) распределение непрерывной случайной величины.Скачать

Экспоненциальное (показательное) распределение непрерывной случайной величины.

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределение

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

Равномерное распределение случайной величиныСкачать

Равномерное распределение случайной величины

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Равномерное распределениеСкачать

Равномерное распределение

Законы распределения непрерывных случайных величинСкачать

Законы распределения непрерывных случайных величин

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Функция распределения и плотность распределения

Биноминальное распределениеСкачать

Биноминальное распределение

Равномерное распределение непрерывной случайной величины.Скачать

Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

Показательное распределениеСкачать

Показательное распределение

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величин

Нормальное распределениеСкачать

Нормальное распределение

Равномерное и показательное распределениеСкачать

Равномерное и показательное распределение

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Функция распределения дискретной случайной величины

Непрерывное равномерное распределение плотности вероятностиСкачать

Непрерывное равномерное распределение плотности вероятности

ТВиМС. 7 Основные законы распределения случайных величинСкачать

ТВиМС. 7 Основные законы распределения случайных величин

14 Непрерывные случайные величины ЗадачиСкачать

14  Непрерывные случайные величины  Задачи
Поделиться или сохранить к себе: