📊 Распределения вероятностей для непрерывных случайных величин

📊 Распределения вероятностей для непрерывных случайных величин Методы исследования Теория вероятностей. Примеры решения задач

Приветствую вас, дорогие слушатели! Сегодня мы поговорим о том, как описывать и анализировать непрерывные случайные величины с помощью распределений вероятностей. Непрерывные случайные величины — это такие величины, которые могут принимать любые значения из некоторого интервала числовой оси. Например, время ожидания автобуса, длина телефонного разговора, температура воздуха и т.д. Для таких величин мы не можем перечислить все возможные исходы, как для дискретных случайных величин, поэтому нам нужен другой способ задания их закона распределения. 🤔

Для непрерывных случайных величин мы используем понятие функции плотности вероятности, которая показывает, насколько вероятно, что случайная величина примет значение, близкое к данному. Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами: 😊

  • Она неотрицательна, то есть f(x) ≥ 0 для любого x;
  • Она интегрируема, то есть существует определенный интеграл ∫f(x)dx по всей области значений случайной величины;
  • Она нормирована, то есть ее интеграл равен единице: ∫f(x)dx = 1;
  • Она определяет вероятность попадания случайной величины в любой интервал (a;b) по формуле Р(a < X < b) = ∫f(x)dx, где интеграл берется от a до b.

Кроме функции плотности вероятности, для непрерывных случайных величин также вводится понятие функции распределения, которая показывает, какая доля значений случайной величины не превосходит данное число. Функция распределения обозначается буквой F и вычисляется по формуле F(x) = Р(X ≤ x) = ∫f(t)dt, где интеграл берется от минус бесконечности до x. Функция распределения обладает следующими свойствами: 😊

  • Она неубывающая, то есть если x1 < x2, то F(x1) ≤ F(x2);
  • Она непрерывная, то есть не имеет скачков;
  • Она ограниченная, то есть 0 ≤ F(x) ≤ 1 для любого x;
  • Она стремится к нулю при x → -∞ и к единице при x → +∞, то есть F(-∞) = 0 и F(+∞) = 1;
  • Она определяет вероятность попадания случайной величины в любой интервал (a;b) по формуле Р(a < X < b) = F(b) — F(a).

Зная функцию плотности или функцию распределения непрерывной случайной величины, мы можем найти ее числовые характеристики, такие как математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и т.д. Эти характеристики позволяют оценить среднее значение, разброс, асимметрию и эксцесс случайной величины. Для нахождения этих характеристик мы используем определенные интегралы от функции плотности или функции распределения. 😊

Существует много разных видов распределений вероятностей для непрерывных случайных величин, которые описывают различные явления в природе, науке, технике, экономике и т.д. Некоторые из них мы рассмотрим подробнее в этой лекции. Это: 😍

  • Равномерное распределение;
  • Показательное распределение;
  • Нормальное распределение.

Видео:Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

📈 Равномерное распределение

Равномерным распределением называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая принимает значения на отрезке [a;b] с постоянной плотностью. Это означает, что вероятность попадания случайной величины в любой подотрезок одинакова и пропорциональна его длине. Например, если X — время ожидания автобуса, который ходит строго по расписанию с интервалом 10 минут, то X имеет равномерное распределение на отрезке [0;10]. 😊

Функция плотности вероятности для равномерного распределения имеет вид:

Функция распределения для равномерного распределения имеет вид:

F(x)={0,если xb.F(x) = begin{cases}
0, & text{если } x < a, \
frac{x-a}{b-a}, & text{если } a le x le b, \
1, & text{если } x > b.
end{cases}F(x)=⎩⎨⎧​0,b−ax−a​,1,​если x
b.​

Математическое ожидание для равномерного распределения равно среднему арифметическому границ отрезка:

Дисперсия для равномерного распределения равна квадрату четверти длины отрезка, деленному на три:

Среднее квадратическое отклонение для равномерного распределения равно длине отрезка, деленной на два корня из трех:

Пример. Пусть X — время ожидания автобуса, который ходит строго по расписанию с интервалом 10 минут. Тогда X имеет равномерное распределение на отрезке [0;10]. Найдем вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 3 минут и не менее 7 минут. 😊

Решение. Вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 3 минут, рав на три минуты, равна отношению длины подотрезка [0;3] к длине отрезка [0;10], то есть Р(X ≤ 3) = F(3) = 3/10 = 0.3. Вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не менее 7 минут, равна отношению длины подотрезка [7;10] к длине отрезка [0;10], то есть Р(X ≥ 7) = 1 — F(7) = 1 — 7/10 = 0.3. Вероятность того, что пассажир будет ждать автобус не более 3 минут или не менее 7 минут, равна сумме этих вероятностей, то есть Р(X ≤ 3 или X ≥ 7) = Р(X ≤ 3) + Р(X ≥ 7) = 0.3 + 0.3 = 0.6. 😊

📉 Показательное распределение

Показательным распределением называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которая принимает неотрицательные значения с убывающей плотностью. Это означает, что вероятность того, что случайная величина примет большое значение, меньше, чем вероятность того, что она примет маленькое значение. Например, если X — время до поломки некоторого прибора, который подвержен износу, то X имеет показательное распределение. 😊

Функция плотности вероятности для показательного распределения имеет вид:

Здесь параметр λ > 0 называется интенсивностью и характеризует скорость убывания плотности. Чем больше λ, тем быстрее падает вероятность больших значений случайной величины.

Функция распределения для показательного распределения имеет вид:

Математическое ожидание для показательного распределения равно обратному значению интенсивности:

Дисперсия для показательного распределения равна квадрату обратного значения интенсивности:

Среднее квадратическое отклонение для показательного распределения равно обратному значению интенсивности:

🎦 Видео

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Законы распределения непрерывных случайных величинСкачать

Законы распределения непрерывных случайных величин

Экспоненциальное (показательное) распределение непрерывной случайной величины.Скачать

Экспоненциальное (показательное) распределение непрерывной случайной величины.

Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Нормальное Распределение за 6 Минут

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Функция распределения и плотность распределения

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределение

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величин

Непрерывная случайная величина. Функция распределенияСкачать

Непрерывная случайная величина. Функция распределения

Непрерывная случайная величина. Плотность вероятностейСкачать

Непрерывная случайная величина. Плотность вероятностей

2.2. Функция распределения и ее характеристики.Скачать

2.2. Функция распределения и ее характеристики.

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Функция распределения дискретной случайной величины

Равномерное распределение случайной величиныСкачать

Равномерное распределение случайной величины

Непрерывная случайная величина и ее свойстваСкачать

Непрерывная случайная величина и ее свойства

Биноминальное распределениеСкачать

Биноминальное распределение

Непрерывные случайные величины Плотность вероятностиСкачать

Непрерывные случайные величины  Плотность вероятности

Равномерное распределение непрерывной случайной величины.Скачать

Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

Непрерывные случайные величиныСкачать

Непрерывные случайные величины

14 Непрерывные случайные величины ЗадачиСкачать

14  Непрерывные случайные величины  Задачи
Поделиться или сохранить к себе: