Показатели вариации: понятие, виды, формулы для вычислений. Примеры решения задач

По данным выборочного обследования произведена группировка вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города:

Размер вклада, руб.

Число вкладчиков

До 400	400 — 600	600 — 800	800 — 1000	Свыше 1000
32	56	120	104	88

Определите:

1) размах вариации;

2) средний размер вклада;

3) среднее линейное отклонение;

4) дисперсию;

5) среднее квадратическое отклонение;

6) коэффициент вариации вкладов.

Решение:

Данный ряд распределения содержит открытые интервалы. В таких рядах условно принимается величина интервала первой группы равна величине интервала последующей, а величина интервала последней группы равна величине интервала предыдущей.

Величина интервала второй группы равна 200, следовательно, и величина первой группы также равна 200. Величина интервала предпоследней группы равна 200, значит и последний интервал будет иметь величину, равную 200.

Размер вклада, руб.

Число вкладчиков

200 — 400	400 — 600	600 — 800	800 — 1000	1000 — 1200
32	56	120	104	88

1) Определим размах вариации как разность между наибольшим и наименьшим значением признака:

Размах вариации размера вклада равен 1000 рублей.

2) Средний размер вклада определим по формуле средней арифметической взвешенной.

Предварительно определим дискретную величину признака в каждом интервале. Для этого по формуле средней арифметической простой найдём середины интервалов.

Среднее значение первого интервала будет равно:

второго — 500 и т. д.

Занесём результаты вычислений в таблицу:

Размер вклада, руб.Число вкладчиков, fСередина интервала, хxf

200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Итого	400	—	312000

Средний размер вклада в Сбербанке города будет равен 780 рублей:

3) Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от общей средней:

Порядок расчёта среднего линейонго отклонения в интервальном ряду распределения следующий:

1. Вычисляется средняя арифметическая взвешенная, как показано в п. 2).

2. Определяются абсолютные отклонения вариант от средней:

3. Полученные отклонения умножаются на частоты:

4. Находится сумма взвешенных отклонений без учёта знака:

5. Сумма взвешенных отклонений делится на сумму частот:

Удобно пользоваться таблицей расчётных данных:

Размер вклада, руб.Число вкладчиков, fСередина интервала, х 

200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Итого	400	—	—	—	81280

Среднее линейное отклонение размера вклада клиентов Сбербанка составляет 203,2 рубля.

4) Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в интервальных рядах распределения производится по формуле:

Порядок расчёта дисперсии в этом случае следующий:

1. Определяют среднюю арифметическую взвешенную, как показано в п. 2).

2. Находят отклонения вариант от средней:

3. Возводят в квадрат отклонения каждой варианты от средней:

4. Умножают квадраты отклонений на веса (частоты):

5. Суммируют полученные произведения:

6. Полученная сумма делится на сумму весов (частот):

Расчёты оформим в таблицу:

Размер вклада, руб.Число вкладчиков, fСередина интервала, х

200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Итого	400	—	—	—	23040000

5) Среднее квадратическое отклонение размера вклада определяется как корень квадратный из дисперсии:

6) Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признаков вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Задача

Рассчитать показатели вариации выручки (в интервальном ряду распределения):

1. Размах вариации.
2. Среднее линейное отклонение.
3. Дисперсию.
4. Среднее квадратическое отклонение.
5. Коэффициенты осцилляции и вариации.

  Таблица 1

Интервальный ряд распределения хозяйств по выручке на 100 га

Выручка на 100 га угодий, тыс. руб.	Число хозяйств
0-50	0
51-100	5
101-150	16
151-200	5
201-250	4
Всего:	30

Решение

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации – показатель, определяющий насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими наибольшее и наименьшее значение признака. Зависимость для его расчета имеет вид:

Размах вариации определяется для несгруппированных данных (табл. 1.1). Максимальное значение выручки на 100 га угодий равно 244,6 тыс. руб., а минимальное – 77,0 тыс. руб. Тогда размах вариации составит:

R = 244.6 — 77.0 = 167.6

Среднее линейное отклонение – показатель, отражающий типичный размер признака. Расчетная зависимость для его определения имеет вид:

где:   xi – варианты признака (выручки на 100 га угодий). В интервальном ряду за значения признака принимается середина интервала;
fi – частота интервала.

https://www.youtube.com/watch?v=bC9tHZlrji0

Расчет среднего линейного отклонения приведен в табл. 2

Таблица 2

Расчет среднего линейного отклонения интервального вариационного ряда

Выручка на 100 га	Число хозяйств	Середина интервалов, xi
0-50	0	25	113,3	0
51-100	5	75	63,3	316,7
101-150	16	125	13,3	213,3
151-200	5	175	36,7	183,3
201-250	4	225	86,7	346,7
Всего:	30	313,3	1060,0

Среднее линейное отклонение интервального ряда равно:

Дисперсия – средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Формула для расчета дисперсии для интервального вариационного ряда имеет вид:

Расчет дисперсии интервального ряда приведен в табл. 3.

Таблица 3

Расчет дисперсии интервального вариационного ряда

Выручка на 100 га	Число хозяйств	Середина интервалов, xi
0-50	0	25	12844,4	0,0
51-100	5	75	4011,1	20055,6
101-150	16	125	177,8	2844,4
151-200	5	175	1344,4	6722,2
201-250	4	225	7511,1	30044,4
Всего:	30	25888,9	59666,7

Дисперсия равна:

Среднеквадратическое отклонение рассчитывается как корень из дисперсии:

К относительным показателям вариации относятся:

1. Линейный коэффициент вариации:

Анализ дискретного ряда распределения показывает, что наиболее распространенным значением (5 торговых точек) является медианное значение.

Средняя выручка на 100 га угодий составила 138,3 тыс. руб. на 100 га. Наиболее распространенное значение (мода) — 125,5 тыс. руб. К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации (167,6), среднее линейное отклонение (35,3), дисперсия (1988,9) и среднее квадратическое отклонение (44,6).

Относительные показатели вариации: коэффициент осцилляции (1,21), линейный коэффициент вариации (0,255) и коэффициент вариации (0,322).

Показатели вариации в статистике решение задач

Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц, которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.

В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin. Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):

Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.

Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.

https://www.youtube.com/watch?v=O4ePkX9_xaE

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении — относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.

— формула для расчета коэффициента вариации.

Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»

Задача 1. При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;

2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;

3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;

4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;

5) Общую дисперсию используя правило сложения;

6) Коэффициент детерминации;

7) Корреляционное отношение.

1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой. Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).

Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

= 29 000/50 = 580 руб.

Дисперсию вклада найдем по формуле:

Аналогичные действия произведем для банка без рекламы:

2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.

3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: &#&63; 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда &#&63; 2 =0,5*0,5=0,25.

4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.

5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

>&#&63; 2 = &#&63; 2 факт + &#&63; 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04

6) Коэффициент детерминации &#&51; 2 = &#&63; 2 факт / &#&63; 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% — размер вклада на 39% зависит от рекламы.

7) Эмпирическое корреляционное отношение &#&51; = √;&#&51; 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.

Задача 2. Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:

Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.

1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х'). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей — как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).

В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).

Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:

Хср = k×(((&#&31;((х'-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 — размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 — размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:

Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.

2) Дисперсию найдем по следующей формуле:

>&#&63; 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) среднее квадратическое отклонение: &#&63; = ±√;&#&63; 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.

4) коэффициент вариации: V = ((&#&63; /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%

Другие статьи по данной теме:

Список использованных источников

1. Белобородова С.С. и др. Теория статистики: Типовые задачи с контрольными заданиями. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2001;
2. Минашкин В.Г. и др. Курс лекций по теории статистики.

   / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. — М., 2003;

3. Сизова Т.М. Статистика: Учебное пособие. – СПб.: СПб ГУИТМО, 2005;
4. Фёдорова Л.Н., Фёдорова А.Е.

   Методические указания по написанию контрольной работы по курсу «Статистика» для студентов экономических специальностей: УрГЭУ, 2007;

2012-2015 © Лана Забродская (в ). При копировании материалов сайта ссылка на источник обязательна

У инвестора имеется две альтернативы вложения денежных средств в деятельность торговых компаний А и В. Анализ показал, что рентабельность аналогичных компаний за последние 5 лет составила:

Исходя из критерия риска, выберите и обоснуйте наиболее предпочтительный для инвестора вариант (рассчитайте среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации).

Рассчитаем среднее значение рентабельности продаж по формуле средней арифметической простой:

Построим вспомогательную таблицу расчётных данных:

Средняя рентабельность продаж для организации А:

Средняя рентабельность продаж для организации В:

Дисперсия — это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней арифметической.

Расчёт дисперсии в дискретных рядах распределения производится по формуле:

Среднее квадратическое отклонение определим по формуле:

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации рентабельности продаж. Чем больше его величина, тем больше разброс значения признаков вокруг средней, тем более рискован проект.

https://www.youtube.com/watch?v=DW5-vfP1ezE

Вложения денежных средств в деятельность торговой компании А подвержены большему риску, так как коэффициент вариации больше и он очень высокий. Поэтому для вложения денежных средств наиболее предпочтителен вариант инвестирования в деятельность торговой компании В.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Показатели вариации

Вариация – различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

К показателям вариации относятся:

I группа — абсолютные показатели вариации

• размах вариации
• среднее линейное отклонение
• дисперсия
• среднее квадратическое отклонение

II группа — относительные показатели вариации

• коэффициент вариации
• коэффициент  осцилляции
• относительное линейное отклонение

Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R. Размах вариации показывает лишь крайние  (min, max) отклонения признака от общей средней.

Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику.

Среднее линейное отклонение — средняя арифметическая абсолютных значений отклонений (модуль отклонений) отдельных вариантов от их средней арифметической:

1. для несгруппированных данных (простое)
2. для сгруппированных данных (взвешенное)

Дисперсияпризнака — средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия для несгруппированных данных
2. Взвешенная дисперсия для вариационного ряда

Cвойства дисперсии:

1. если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А- дисперсия не изменится; 
2. если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится или увеличится в k2  раз.

Используя второе свойство дисперсии, можно получить формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

где  i – величина интервала, X1 — новые (преобразованные) значения вариантов (А – условное начало, в качестве которого удобно использовать середину интервала или величину признака, обладающего наибольшей частотой.                   

1. Момент второго порядка
2. Квадрат момента первого порядка

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

1. для несгруппированных данных (простое)
2. для вариационного ряда по сгруппированным данным (взвешенное)

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются отдельные варианты от их среднего значения.

 Среднее значение альтернативного признака и его дисперсия:

1. Среднее значение альтернативного признака
2. Дисперсия альтернативного признака

Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим:

Таким образом,  дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком и доли единиц, не обладающих данным признаком.

Показатели относительного рассеивания

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах.

  Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях  (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних,  при сравнении  разноименных  совокупностей).

Расчет  показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к  средней  арифметической, умноженное на 100%.

1. Коэффициент  осцилляции  отражает  относительную  колеблемость крайних значений признака вокруг общей средней.

2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений (модуль отклонений) от средней величины.

3. Коэффициент вариации — отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, применяется для сравнения вариаций различных признаков, используется как характеристика однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Пример расчета абсолютных и относительных показателей вариации:

Распределение КФХ области по урожайности зерновых культур 

Группы хозяйств по урожайности (ц/га)	Середина интервала	Число хозяйств	Расчетные значения
Xi	ƒi	Xi ƒi	|Хi-Хср|	|Хi — Хср|*ƒi	(Χi-Χср)2	(Χi-Χср)2 *ƒi
9,1-15	12,1	2	24,20	12,44	24,87	154,641	309,28
15,1-21,1	18,1	31	561,1	6,44	199,50	41,415	1283,88
21,1-27,1	24,1	54	1301,40	0,44	23,52	0,190	10,24
27,1-33,1	30,1	30	903,00	5,56	166,94	30,964	928,92
> 33,1	36,1	7	252,7	11,56	80,95	133,738	936,17
Всего	X	124	3042,40	36,44	495,77	360,948	3468,48
Средние	X	X	24,54	X	4,00	27,97

Виды дисперсии, правило сложения дисперсий

📺 Видео